4.1 Definición de series

DEFINICION:Una sucesión es un conjunto de términos formados según una ley o regla determinada. Por ejemplo,      1,4,9,16,25

Y                      1,-x,x22- x33 ,x44,- x55   con sucesiones

Una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión .Así, de las sucesiones anteriores obtenemos las series     1+4+9+16+25Y                 1 –x + x22- x33 +x44,- x55   

Cuando el numero de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el numero de términos es limitada, la sucesión o serie se llama una sucesión o serie infinita.

El termino general o termino enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

EJEMPLO 1 :En la primera sucesión anterior, el termino general o termino enésimo es n2 . El primer termino se obtiene haciendo n=1, el decimo termino haciendo n=10,etc.     

EJEMPLO 2 :En la segunda sucesión, el termino enésimo, con exención de n=1 ,es -xn-1n-1   

Si la sucesión es infinita, se indica por puntos suspensivos, como 1,4,9…, n2 

Factoriales. Una expresión que se presenta frecuentemente en el estudio de las series es el producto de números enteros sucesivos comenzando por 1.Asi, 1x 2 x3 x4 x5 es una expresión de esta clase, que se llama factoriales 5.Se entiende que n es un número y positivo

4.1.1 Finita

Cuando el numero de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita, xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de y se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie Finita

4.1.2 Infinita

Se le llama serie infinita, a los elementos ak, k=,1,2,3,…, se le llama a los términos de la serie; an se denominó general.Se representa en forma compacta comok=1∞ak, 0 bien ak , por conveniencia.

Definición: Si {un} es una sucesión y Sn =u1 + u2 ,… un  entonces {Sn} es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

n=1+∞un=u1   + u2  +  u3 ,… +un  +… Los números u1, u 2,u3 … un … son términos de la serie infinita.

EJEMPLO 1:

En las observaciones iníciales de este capítulo se indicó que la representación decimal del numero racional  13   es en la realidad, una serie infinita.

310  +310 2 +3103 +k=1∞310k                    

   * SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES   

Para cada serie infinita ∑ ak  existe una sucesión de sumas parciales {Sn} definida como sigue:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

.

.

.

Sn = a1 + a2 + a3 +… +an

EJEMPLO 2 :

La sucesión de sumas parciales de k=1∞310k  es

S1 = 310

S2 = 310 + 3102

S3 = 310 + 3102 + 3103

             Sn =   310 + 3102 + 3103 + 310n

En el ejemplo 2 cuando n es muy grande Sn, dará una buena aproximación a 13  y de esta manera parece razonable escribir 13 =limn→∞k=1n310k =k=1∞310k 

Esto conduce a la definición siguiente:

Se dice que una serie infinita k=1∞ak es converge la sucesión de sumas parciales {Sn}; esto es limn→∞k=1∞ak =S .

El numero S es la suma de las serie ,S ; limn→∞Sn no existe , se dice entonces que la serie es divergente

TEOREMA

Si la serie infinita k=1+∞un  es convergente , entonces limn→∞un= 0

Infinita

4.2 Serie númerica convergencia

Una serie a n se llama absolutamente convergente si la serie de valores absolutos  ∑ │an│ es convergente.

Dada cualquier serie a n  se puede considerar la serie correspondiente 

  n=1∞an│=│a1 │+│a2│+│a3│+bn

Cuyos términos son los valores absolutos de los términos de la serie original.

Obsérvese que si ∑ an es una serie con términos positivos, entonces │an│= 0,1

Ejemplo 1: La serie

               n=1∞-1n2n2=-1 2 2 +13 2 -14  2 +…

             es absolutamente convergente porque

              n=1∞│-1n-1n2  │=n=1∞1n2=1+   122 +13 2 +14  2 +…

es una serie ᵨ convergente (ᵨ = 2)             

Una serie a n  se llama condicionalmente convergente si es convergente pero no absolutamente convergente.

Si una serie a n   es absolutamente  convergente, entonces es convergente.

Observese que la desigualdad

             -│an│≤ a2 ≤│a2│

Es cierta porque an  es igual a -│a2│o │an│. Si ahora se suma │an│ a cada lado de esta desigualdad, se obtiene

                           0≤ an  +│a2│≤ 2│a2│

-------------------------------------------------

Sea bn= an+ │a2│. Entonces c≤ bn≤│an│ es absolutamente convergente, entonces ∑│a2│ es convergente, asi que ∑2│a2│ es convergente. Por lo tanto ∑ bn es convergente por el criterio de comparación. Puesto que an =bn-│an│,

-------------------------------------------------

∑ an =∑ bn -∑│a2│

-------------------------------------------------

1. Convergencia.

Si {an} es una sucesión de números reales, se define la serie de término general a_n y se escribe

 como:

Si este límite de la n-ésima suma parcial  es finito, se dice que la serie es convergente; si es infinito o no existe, que es divergente


Convergencia de una Serie

4.3 Serie de Potencias

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes a_n son los términos de una sucesion.

Ejemplos

• La serie geométrica  es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1

• La serie de potencias  es absolutamente convergente para todo 

• La serie de potencias  solamente converge para x = 0
• 
  

4.4 radio de Convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma , con , viene dado por la expresión:

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x₀. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x₀ | < r, donde r es un número real llamadoradio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x₀ − r, x₀ + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x₀, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r = 

[editar]Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

[editar]Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x₀ = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

.

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x₀ = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

.

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

.

4.6 Series de Taylor

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r)

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.


Serie de Taylor