miércoles, 8 de junio de 2011

4.2 Serie númerica convergencia

Una serie a n se llama absolutamente convergente si la serie de valores absolutos  ∑ │an│ es convergente.
Dada cualquier serie a n  se puede considerar la serie correspondiente 
  n=1∞an│=│a1 │+│a2│+│a3│+bn
Cuyos términos son los valores absolutos de los términos de la serie original.
Obsérvese que si ∑ an es una serie con términos positivos, entonces │an│= 0,1
Ejemplo 1: La serie
               n=1∞-1n2n2=-1 2 2 +13 2 -14  2 +…
             es absolutamente convergente porque
              n=1∞│-1n-1n2  │=n=1∞1n2=1+   122 +13 2 +14  2 +…
es una serie ᵨ convergente (ᵨ = 2)             

Una serie a n  se llama condicionalmente convergente si es convergente pero no absolutamente convergente.
Si una serie a n   es absolutamente  convergente, entonces es convergente.
Observese que la desigualdad
             -│an│≤ a2 ≤│a2│
Es cierta porque an  es igual a -│a2│o │an│. Si ahora se suma │an│ a cada lado de esta desigualdad, se obtiene
                           0≤ an  +│a2│≤ 2│a2│
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Sea bn= an+ │a2│. Entonces c≤ bn≤│an│ es absolutamente convergente, entonces ∑│a2│ es convergente, asi que ∑2│a2│ es convergente. Por lo tanto ∑ bn es convergente por el criterio de comparación. Puesto que an =bn-│an│,
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∑ an =∑ bn -∑│a2│
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1. Convergencia.
Si {an} es una sucesión de números reales, se define la serie de término general an y se escribe
 como:
Si este límite de la n-ésima suma parcial  es finito, se dice que la serie es convergente; si es infinito o no existe, que es divergente


Convergencia de una Serie

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