Una serie a n se llama absolutamente convergente si la serie de valores absolutos ∑ │an│ es convergente.
Dada cualquier serie a n se puede considerar la serie correspondiente
n=1∞an│=│a1 │+│a2│+│a3│+bn
Cuyos términos son los valores absolutos de los términos de la serie original.
Obsérvese que si ∑ an es una serie con términos positivos, entonces │an│= 0,1
Ejemplo 1: La serie
n=1∞-1n2n2=-1 2 2 +13 2 -14 2 +…
es absolutamente convergente porque
n=1∞│-1n-1n2 │=n=1∞1n2=1+ 122 +13 2 +14 2 +…
es una serie ᵨ convergente (ᵨ = 2)
Una serie a n se llama condicionalmente convergente si es convergente pero no absolutamente convergente.
Si una serie a n es absolutamente convergente, entonces es convergente.
Observese que la desigualdad
-│an│≤ a2 ≤│a2│
Es cierta porque an es igual a -│a2│o │an│. Si ahora se suma │an│ a cada lado de esta desigualdad, se obtiene
0≤ an +│a2│≤ 2│a2│
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Sea bn= an+ │a2│. Entonces c≤ bn≤│an│ es absolutamente convergente, entonces ∑│a2│ es convergente, asi que ∑2│a2│ es convergente. Por lo tanto ∑ bn es convergente por el criterio de comparación. Puesto que an =bn-│an│,
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∑ an =∑ bn -∑│a2│
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1. Convergencia.
Si {an} es una sucesión de números reales, se define la serie de término general an y se escribe
como:
Convergencia de una Serie
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