4.1.2 Infinita

Se le llama serie infinita, a los elementos ak, k=,1,2,3,…, se le llama a los términos de la serie; an se denominó general.Se representa en forma compacta comok=1∞ak, 0 bien ak , por conveniencia.

Definición: Si {un} es una sucesión y Sn =u1 + u2 ,… un  entonces {Sn} es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

n=1+∞un=u1   + u2  +  u3 ,… +un  +… Los números u1, u 2,u3 … un … son términos de la serie infinita.

EJEMPLO 1:

En las observaciones iníciales de este capítulo se indicó que la representación decimal del numero racional  13   es en la realidad, una serie infinita.

310  +310 2 +3103 +k=1∞310k                    

   * SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES   

Para cada serie infinita ∑ ak  existe una sucesión de sumas parciales {Sn} definida como sigue:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

.

.

.

Sn = a1 + a2 + a3 +… +an

EJEMPLO 2 :

La sucesión de sumas parciales de k=1∞310k  es

S1 = 310

S2 = 310 + 3102

S3 = 310 + 3102 + 3103

             Sn =   310 + 3102 + 3103 + 310n

En el ejemplo 2 cuando n es muy grande Sn, dará una buena aproximación a 13  y de esta manera parece razonable escribir 13 =limn→∞k=1n310k =k=1∞310k 

Esto conduce a la definición siguiente:

Se dice que una serie infinita k=1∞ak es converge la sucesión de sumas parciales {Sn}; esto es limn→∞k=1∞ak =S .

El numero S es la suma de las serie ,S ; limn→∞Sn no existe , se dice entonces que la serie es divergente

TEOREMA

Si la serie infinita k=1+∞un  es convergente , entonces limn→∞un= 0

Infinita